Question

5．已知圓O：x²+y²=4與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，列出方程，再根據(jù)點(diǎn)P在圓內(nèi)求出取值范圍．

解答 解：不妨設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x，y），
由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$，
兩邊平方，可得（x²+y²+4）²-16x²=（x²+y²）²，
化簡(jiǎn)整理可得，x²-y²=2．
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}＜4}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
由此得y²＜1．
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及圓與直線交點(diǎn)問題，屬于綜合性試題，有一定的計(jì)算量，難易中等．