Question

已知函數(shù)f（x）=

a

2

x2-bx+lnx (a，b∈R）．
（Ⅰ） 若a=b=1，求f（x）點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ） 設(shè)a≤0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ） 設(shè)a＜0，且對任意的x＞0，f（x）≤f（2），試比較ln（-a）與-2b的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）寫出a=b=1時(shí)的函數(shù)f（x），求導(dǎo)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，求得切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a=0時(shí)，①若b≤0，②若b＞0，當(dāng)a＜0時(shí)，分別求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；
（Ⅲ）由題意知函數(shù)f（x）在x=2處取得最大值．由（ I I）知，

b- b2-4a

2a

是f（x）的唯一的極大值點(diǎn)，將ln（-a）與-2b作差，令g（x）=lnx+1-4x（x＞0），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可比較．

解答： 解：（Ⅰ） a=b=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2-x+lnx，f′(x)=x-1+

1

x

，
∴f(1)=-

1

2

，k=f'（1）=1，
故f（x）點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是2x-2y-3=0．
（Ⅱ）由f(x)=

a

2

x2-bx+lnx ，x∈(0 ，  +∞)，
得f′(x)=

ax2-bx+1

x

．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

1-bx

x

．
①若b≤0，
由x＞0知f'（x）＞0恒成立，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
②若b＞0，
當(dāng)0＜x＜

1

b

時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞

1

b

時(shí)，f'（x）＜0．
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

1

b

），單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

b

，+∞）．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）=0，得ax²-bx+1=0，
由△=b²-4a＞0得x1=

b+ b2-4a

2a

，x2=

b- b2-4a

2a

．
顯然，x₁＜0，x₂＞0，
當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞x₂時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

b- b2-4a

2a

），單調(diào)遞減區(qū)間是（

b- b2-4a

2a

，+∞）．
綜上所述：當(dāng)a=0，b≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a=0，b＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

1

b

），單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

b

，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

b- b2-4a

2a

），
單調(diào)遞減區(qū)間是（

b- b2-4a

2a

，+∞）． 
（Ⅲ）由題意知函數(shù)f（x）在x=2處取得最大值．
由（ I I）知，

b- b2-4a

2a

是f（x）的唯一的極大值點(diǎn)，
故

b- b2-4a

2a

=2，整理得-2b=-1-4a．
于是ln（-a）-（-2b）=ln（-a）-（-1-4a）=ln（-a）+1+4a
令g（x）=lnx+1-4x（x＞0），則g′(x)=

1

x

-4．
令g'（x）=0，得x=

1

4

，當(dāng)x∈(0 ，  

1

4

)時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(

1

4

 ，  +∞)時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
因此對任意x＞0，g（x）≤g(

1

4

)=ln

1

4

＜0，又-a＞0，
故g（-a）＜0，即ln（-a）+1+4a＜0，即ln（-a）＜-1-4a=-2b，
∴l(xiāng)n（-a）＜-2b．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．