Question

如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點。

（1）求點P的軌跡H的方程；
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤），確定θ的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？

Answer 1

解：如圖，（1）設橢圓Q：（a＞b＞0）上的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設P點坐標為P（x，y），
則
1°當AB不垂直x軸時，x₁≠x₂，
由（1）-（2）得b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）；
2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）
故所求點P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0。
（2）因為，橢圓Q右準線l方程是x=，原點距l(xiāng)的距離為
由于c²=a²-b²，a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤）
則==2sin（+）
當θ=時，上式達到最大值。
此時a²=2，b²=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
設橢圓Q：上的點 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
三角形ABD的面積S=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|
設直線m的方程為x=ky+1，代入中，得
（2+k²）y²+2ky-1=0
由韋達定理得y₁+y₂=，y₁y₂=

令t=k²+1≥1，得
當t=1，k=0時取等號
因此，當直線m繞點F轉到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。