Question

已知函數(shù)f（x）=x²-6x+4lnx+a（0＜x≤6）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）a為何值時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．

Answer 1

解：（1），則

x	x∈（0，1）	x=1	x∈（1，2）	x=2	x∈（2，6]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（2，6]，單調(diào)遞減區(qū)間為[，2]．
（2）由（1）可知即y=f（x）的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)
又知當(dāng)x趨近于0時(shí)，f（x）趨近于-∞，
數(shù)形結(jié)合得f（1）=a-5＞0且f（2）=-8+4ln2+a＜0，
所以5＜a＜8-4ln2
分析：（1）求導(dǎo)得：令f^′（x）＞0和f^′（x）＜0再結(jié)合0＜x≤6即可求解．
（2）可分析出當(dāng)x→+∞時(shí)f（x）→+∞并且x→0時(shí)f（x）→-∞而f（x）在（0，1）遞增（1，2）遞減（2，6）遞增故要使方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根只需f（x）的極大值大于0同時(shí)極小值小于0即可．
點(diǎn)評：本題第一問主要考查了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)f^′（x）再令f^′（x）≥0，f^′（x）≤0再結(jié)合0＜x≤6求出x的取值范圍寫成區(qū)間即可但要注意單調(diào)區(qū)間不能用∪連接．第二問主要考查了根的分布問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性再結(jié)合極限思想轉(zhuǎn)化為極大極小值大于小于0的問題．