Question

設橢圓C：（a＞b＞0）過點P（1，），且離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過右焦點F的動直線交橢圓于點A、B，設橢圓的左頂點為C連接CA、CB且交直線l：x=m于M、N，若以MN為直徑的圓恒過右焦點F，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓C：（a＞b＞0）過點P（1，），且離心率e=，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出=（m-，）=（m-，），結合以MN為直徑的圓恒過右焦點F，可得方程，即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：（a＞b＞0）過點P（1，），且離心率e=
∴
∴a²=4，b²=3
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
k存在時，設直線AB：，代入橢圓方程可得（2k²+1）x²-x+4k²-4=0
∴，
∵CA：，∴M（m，）
∴=（m-，）
同理，=（m-，）
∵以MN為直徑的圓恒過右焦點F，
∴（m-）²-（m+2）²•=0
∴
當k不存在時，△MNF為等腰直角△，∴M（m，），A（，1）
由C、B、M三點共線得到
綜上，．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．