Question

已知函數(shù)
（1）若對(duì)于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為﹣3，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)t=2^x，則y=（t＞0），
∵y＞0恒成立，
∴t＞0時(shí)，t²+kt+1＞0恒成立，即t＞0時(shí)，k＞﹣（t+）恒成立，
∵t＞0時(shí)，t+≥2，
∴﹣（t+）≤﹣2，
當(dāng)t=，即t=1時(shí)，﹣（t+）有最大值為﹣2，
∴k＞﹣2；
（2）f（x）==1+，
令t=2^x++1≥3，則y=1+（t≥3），
當(dāng)k﹣1＞0，即k＞1時(shí)，y∈（1，]，無最小值，舍去；
當(dāng)k﹣1=0，即k=1時(shí)，y∈{1}，最小值不是﹣3，舍去；
當(dāng)k﹣1＜0，即k＜1時(shí)，y∈[，1），最小值為=﹣3得k=﹣11；
綜上k=﹣11．
（3）因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，
故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）
對(duì)任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當(dāng)k＞1時(shí)，
∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤且1＜f（x₃）≤，
故≤2，
∴1＜k≤4；
當(dāng)k=1時(shí)，
∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當(dāng)k＜1時(shí)，
∵≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且≤f（x₃）＜1，
故≥1，
∴﹣≤k＜1；
綜上所述：﹣≤k≤4．