Question

設(shè)0＜a＜1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）=log_nx+log_xa在（1，

1

a

）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：步驟：（1）設(shè)元x₁、x₂，設(shè)1＜x₁＜x_2^＜

1

a

，
（2）作差：f（x₁）-f（x₂）=

log

x1 a

+

log

a x1

-

log

x2 a

-

log

a x2

（3）變形，應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，所有的對數(shù)式化為同底的，提取公因式，將式子變成因式乘積的形式，
（4）判斷符號（正、負(fù)），得出結(jié)論．

解答：解：證明：設(shè)1＜x₁＜x_2^＜

1

a

，
f（x₁）-f（x₂）=

log

x1 a

+

log

a x1

-

log

x2 a

-

log

a x2

=

log

x1 x2 a

（1-

1

log x1 a log x2 a

）
由條件得：

log

x1 x2 a

＞0，

又∵-1≤

log

x1 a

、

log

x2 a

＜0，
∴0＜

log

x1 a

•

log

x2 a

＜1，
故 f（x₁）-f（x₂）＞0
∴在（1，

1

a

）上f（x）是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟．