Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上一點(diǎn)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知得到關(guān)于a，b的兩個方程，解出對應(yīng)a，b的值即可．
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，找到關(guān)于點(diǎn)M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)，把其代入線段MN的垂直平分線方程，可以得到k和m之間的一個等量關(guān)系，再利用直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，對應(yīng)判別式大于0，就可求出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意有，解得
∴橢圓的方程為=1
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由⇒（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點(diǎn)
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3
又x₁+x₂=-∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：y=-
∵p在l'上∴
即4k²+8km+3=0∴m=-
將上式代入得+3∴k²＞
即k＞或k＜-∴k的取值范圍為．
點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法問題．在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，用定義是常用的方法．