Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，平面B₁ED交A₁D₁于F
（1）指出F在A₁D₁上的位置，并證明．
（2）求直線A₁C與B₁F所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，求出與，再根據(jù)向量平行建立等量關系，從而求出點F的位置；
（2）先分別求出直線A₁C與B₁F的向量坐標，求出向量與的夾角余弦值，再根據(jù)異面直線所成角的范圍求出直線A₁C與B₁F所成角的余弦值即可．
解答：解：（1）以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz．
∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，面B₁EDF∩面A₁B₁C₁D₁=B₁F，
面B₁EDF∩面ABCD=DE
∴B₁F∥DE
又∵D（0，1，0），E（1，，0），B₁（1，0，1）
設F（0，y，1），則=（-1，y，0），=（-1，，0）
∴即
∴
∴F為A₁D₁的中點
（2）A₁（0，0，1），C（1，1，0），則
=（1，1，-1），
∴A₁C與B₁F所成角的余弦值為（12分）
點評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及空間向量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．