Question

（附加題）已知函數(shù)f（x）=x²+px+q，對于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0．
（1）求p、q之間的關(guān)系式；
（2）求p的取值范圍；
（3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值，并求此時f（sinθ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的自變量的表示式和三角函數(shù)的值域看出自變量的取值范圍，得到二次函數(shù)的實根的分布情況，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到兩個根之積和兩個根之和，得到要求的量之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)所給的二次函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值和二次函數(shù)的性質(zhì)，得到二次函數(shù)的對稱軸的范圍，根據(jù)對稱軸的范圍得到p的取值范圍．
（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以得到當1≤x≤3時，f（x）為增函數(shù)，所得到x=3時，f（x）取得最大值，根據(jù)所給的最大值，求出p，q的值，做出二次函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）當θ∈R時，-1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，
由已知f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0可知，
對于函數(shù)f（x），當-1≤x≤1時，f（x）≤0；當1≤x≤3時，f（x）≥0；
且f（x）的一個根為1，令f（x）另外一根為a，則兩根之和1+a=-p，
所以另一根為a=-P-1，
兩根之積為1×a=-p-1=q，
所以p，q關(guān)系為-p-1=q，即1+p+q=0  　     （3分）
（2）由題意知任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0，
可知 f（1）=0 
又因為要滿足f（sinθ）≤0，
所以 f（-1）≤0，
故有對稱軸x=-

p

2

≤0
解得P≥0．                              （6分）
（3）根據(jù)f（x）的函數(shù)的圖象可知，
當1≤x≤3時，f（x）為增函數(shù)，所以x=3時，f（x）取得最大值
∴f（3）=9+3p+q=14，
∴9+3p-p-1=14，則p=3，q=-4，
得到f（x）=x²+3x-4，
可知，當-1≤x≤1時，f（x）為增函數(shù)，
當sinθ=-1時，f（sinθ）取得最小值為-6．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及在閉區(qū)間上求函數(shù)的最值，本題解題的關(guān)鍵是對于所給的函數(shù)對應(yīng)的不等式進行整理變形，看出實際上是一個實根分布問題，本題是一個中檔題目．