Question

16．已知直線l：y+2=0和圓C：x²+y²-2y=0，動(dòng)圓M與l相切，而且與C內(nèi)切．求當(dāng)M的圓心距直線g：x-y-2=0最近時(shí)，M的方程．

Answer 1

分析 設(shè)圓M的圓心為M（x₀，y₀），半徑為r，由題目條件可以求出圓心M的軌跡$x_0^2=4{y_0}$．根據(jù)當(dāng)M的圓心距直線g：x-y-2=0最近的條件，利用圓心距和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出M的方程．

解答 解：設(shè)圓M的圓心為M（x₀，y₀），半徑為r，
則依題意有$\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=|{{y_0}+2}|-1（{{y_0}＞-2}）$…（2分）
即：$\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}={y_0}+1（{{y_0}≥-1}）$，
也即：$x_0^2=4{y_0}$…（4分）
設(shè)M（x₀，y₀）到直線g的距離為d，
則$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}-2}|}}{{\sqrt{2}}}$…（6分）
即$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}（{\frac{1}{4}x_0^2-{x_0}+2}）$…（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=2時(shí)，d最小，
此時(shí)由r=|y₀+2|得r=3…（10分）
∴所求圓M的方程為（x-2）²+（y-1）²=9…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查圓與圓的位置關(guān)系的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．