Question

已知，且sin（2α+β）=3cos（α+β）sinα，，求α+β的值．

Answer 1

【答案】分析：第一個等式中將sin（2α+β）變形為sin[（α+β）+α]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，第二個等式變形后利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡，求出tanα的值，進(jìn)而求出tan（α+β）的值，根據(jù)α與β的范圍求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+β的度數(shù)．
解答：解：∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，即tan（α+β）=2tanα，
∵4tan=1-tan²，
∴=，即tanα=，
∴tan（α+β）=2tanα=1，
∵α∈[0，]，β∈[0，]，
∴α+β∈[0，]，
則α+β=．
點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，半角的三角函數(shù)，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．