Question

已知二次曲線C_k的方程：

x2

9-k

+

y2

4-k

=1．
（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；
（2）對(duì)于點(diǎn)P（-1，0），是否存在曲線C_k交直線y=x+1于A、B兩點(diǎn)，使得

AB

=-2

BP

？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）已知C_k與直線y=x+1有公共點(diǎn)，求其中實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)且僅當(dāng)

9-k＞0 4-k＞0

時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)（9-k）（4-k）＜0，方程表示雙曲線．
（2）聯(lián)立

(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k) y=x+1

，得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有兩個(gè)實(shí)根，△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9．由此能夠?qū)С鰇不存在．
（3）因?yàn)閏_k為雙曲線，所以4＜k＜9，由△≥0，可得6≤k＜9．由此能求出實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線方程．

解答：解：（1）當(dāng)且僅當(dāng)

9-k＞0 4-k＞0

即 k＜4時(shí)，方程表示橢圓；--------------------------（2分）
當(dāng)且僅當(dāng)（9-k）（4-k）＜0，即4＜k＜9時(shí)，方程表示雙曲線．---------------------（4分）
（2）聯(lián)立

(4-k)x2+(9-k)y2=(9-k)(4-k) y=x+1

得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0有兩個(gè)實(shí)根-----------------------------（6分）
△=4（9-k）•2（k-4）（k-6）＞0⇒k＜4或6＜k＜9----------------（8分）
設(shè)：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AB

=-2

BP

，
得到

x1+x2=-2 y1+y2=0

----------------（10分）
⇒

-2(9-k)

13-2k

=-2，
得到 k=4，所以k不存在-----------------------------------（12分）
（3）因?yàn)閏_k為雙曲線，所以4＜k＜9由△≥0，可得6≤k＜9--------------------------（15分）
雙曲線實(shí)軸2a=9-k≤3，所以最長(zhǎng)時(shí)k=6，此時(shí)雙曲線方程為

x2

3

-

y2

2

=1---（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．