Question

如圖，過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)任作一條直線交拋物線于A，D兩點(diǎn)，若存在一定圓與直線交于B，C兩點(diǎn)，使|AB|•|CD|=1，則定圓方程為

（x-1）²+y²=1

．

Answer 1

分析：求出拋物線焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線BC方程與拋物線y²=4x聯(lián)解，證出x₁x₂=1．根據(jù)拋物線的定義，得|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，結(jié)合|AB|•|CD|=1恒成立，通過(guò)比較系數(shù)可得|BF|=|CF|=1，所以B、C在以F為圓心，半徑為1的圓上，由此不難確定所求圓的方程．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線焦點(diǎn)為F
∵拋物線方程為y²=4x
∴2p=4，得

p

2

=1，所以F（1，0），直線BC方程可設(shè)為y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂=

k2

k2

=1
根據(jù)拋物線定義，得|AF|=x₁+

p

2

=x₁+1，|DF|=x₂+1，
∵不論直線BC怎樣變化，恒有|AB|•|CD|=（|AF|-|BF|）（|DF|-|CF|）=1，
∴（x₁+1-|BF|）（x₂+1-|CF|）=1，結(jié)合x(chóng)₁x₂=1，得|BF|=|CF|=1
因此不論直線BC如何變化，總有點(diǎn)B、C到F的距離總等于1，說(shuō)明B、C在以F為圓心，半徑為1的圓上，所以定圓方程為（x-1）²+y²=1
故答案為：（x-1）²+y²=1

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦被定圓截得四條線段，在線段的積為定值的情況下求圓的方程，著重考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．