Question

【題目】如果，在中， ， ， ， 是內的一點.

（1）若是等腰直角三角形的直角頂點，求的長；

（2）若，設，求的面積的解析式，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）PA＝（2）當θ＝時，△PBC面積的最大值為

【解析】試題分析： 根據題目條件求出的大小，根據余弦定理即可求出；

在中，根據正弦定理，用含的式子表達出， ，然后根據

，可以求出的解析式，最后根據正弦函數的單調性，可以求出的最大值。

解析：(1)解法一：∵P是等腰直角三角形PBC的直角頂點，且BC＝2，

∴∠PCB＝，PC＝，又∵∠ACB＝，∴∠ACP＝，

在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，

∴PA＝.

(2)在△PBC中，∠BPC＝，∠PCB＝θ，

∴∠PBC＝－θ，由正弦定理得＝＝，

∴PB＝sinθ，PC＝ ，∴△PBC的面積S(θ)＝PB·PCsin

＝ sinθ＝2sinθcosθ－sin2θ＝sin2θ＋cos2θ－

＝ －，θ∈，

∴當θ＝時，△PBC面積的最大值為.