Question

若的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：法1：令f=x+y，則f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，所以f≤．由xy==，知≤．由此能求出的最大值．
法2：令x=cosa，y=sina，則 xy=cosa•sina=[（cos（））²-（sin（））²]•2sin（）cos（）=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），而x+y-1=sina+cosa-1=2sin（）cos（）-2（sin（））²=2sin（）•[cos（）-sin（）]，由此能求出的最大值．
解答：解法1：令f=x+y，
則f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
所以f≤．
另一方面xy==，
所以≤．
當x=y=時，取到最大值．
解法2：令x=cosa，y=sina，
則 xy=cosa•sina=[（cos（））²-（sin（））²]•2sin（）cos（）
=2sin（）•[cos（）-sin（）]•[cos（）+sin（）]•cos（）
=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin（）cos（）-2（sin（））²
=2sin（）•[cos（）-sin（）]，
所以=（1+cosa+sina）
=（1+sin（a+））
≤（1+），
所以當x=y=時，的最大值為．
點評：本題考查函數值域的求法，解題時要認真審題．，仔細挖掘題設中的隱含條件，在解法1國要注意均值不等式的合理運用，在解法2中要注意三角函數的靈活運用．