Question

已知函數(shù)f（x）=3x²+bx+1是偶函數(shù)，g（x）=5x+c是奇函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，求

lim

n→∞

Sn.

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)判斷f（-x）=f（x），把函數(shù)解析式代入求得f（x）=3x²+1，根據(jù)g（x）是奇函數(shù)求得c，則g（x）的解析式可得．代入f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1中，整理得

an+1

an

=

2

3

.進(jìn)而判斷出數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

2

3

為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式根據(jù)（1）中的通項(xiàng)公式求得前n項(xiàng)和的極限值．

解答：解：（1）∵f（x）=3x²+bx+1是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即3（-x）²+b（-x）+1=3x²+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x²+1．
∵g（x）=5x+c是奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．
f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1．
∴3a_n+1²+a_na_n+1-2a_n²=0．
∴(3an+1-2an)(an+1+an)=0．∴

an+1

an

=

2

3

.
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

2

3

為公比的等比數(shù)列，
∴的通項(xiàng)公式為an=(

2

3

)n-1.
（2）由（I）可求得Sn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3-3(

2

3

)n．∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

[3-3(

2

3

)n]=3.

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式．考查了學(xué)生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的掌握．