Question

若向量

a

=（x，2x）與

b

=（-3x，2）的夾角是鈍角，則x的范圍是

（-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）（

4

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意可得 cosθ＜0 且

a

和

b

不共線，故有 2x≠2x•（-3x），

a • b

| a |•| b |

＜0，即  x≠0，x≠-

1

3

，且

a

•

b

=-3x²+4x＜0，由此求得x的范圍．

解答：解：∵向量

a

=（x，2x）與

b

=（-3x，2）的夾角是鈍角，設兩個向量的夾角為θ，則有cosθ＜0 且

a

和 

b

不共線，
∴2x≠2x•（-3x），

a • b

| a |•| b |

＜0，即 x≠0，x≠-

1

3

，且

a

•

b

=-3x²+4x＜0．
解得 x＜0，且 x≠-

1

3

，或 x＞

4

3

，故x的范圍是 （-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）（

4

3

，+∞），
故答案為 （-∞，-

1

3

）∪（-

1

3

，0）（

4

3

，+∞）．

點評：本題主要考查兩個向量的夾角公式的應用，兩個向量共線的性質(zhì)，易錯誤地認為

a

與

b

夾角是鈍角?

a

•

b

＜0（應排除兩個向量反向共線的情形），屬于中檔題．