Question

已知過函數f（x）=x²+bx圖象上點A（1，f（1））的直線l與直線3x-y+2=0平行，且直線l與函數圖象只有一個交點．又數列

1

f(n)

（n∈N^*）的前n項和為S_n，則S₂₀₁₂的值為

 

．

Answer 1

分析：利用導數的幾何意義求b，然后通過數列{

1

f(n)

}的通項公式，利用裂項法進行求和即可求出S₂₀₁₃的值．

解答：解：∵f（x）=x²+bx，
∴f'（x）=2x+b，
∵直線3x-y+2=0的斜率為3，
又點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，
∴f'（1）=2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x²+x=x（x+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₂=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2012

-

1

2013

)
=1-

1

2013

=

2012

2013

，
∴S₂₀₁₂=

2012

2013

．
故答案為：

2012

2013

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，數列的求和．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．常見的數列求和的方法有：分組求和法，裂項法，錯位相減法，倒序相加法．要根據具體的通項公式的特點進行判斷該選用什么方法進行求和．本題利用裂項法求數列的和，考查學生的綜合能力．屬于中檔題．