已知橢圓C的方程為
y2
4
+
x2
2
=1
,直線 l與橢圓交于A、B兩點,點P(-1,
1
2
)
為弦AB的中點,求直線l的方程.
分析:設(shè)直線l的斜率為k.設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2).代入橢圓方程得
y
2
1
4
+
x
2
1
2
=1
,
y
2
2
4
+
x
2
2
2
=1
.利用“點差法”即可得出.
解答:解:當(dāng)直線l的斜率不存在時不符合題意.設(shè)直線l的斜率為k.
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2).代入橢圓方程得
y
2
1
4
+
x
2
1
2
=1
,
y
2
2
4
+
x
2
2
2
=1

兩式相減得
(y1+y2)(y1-y2)
4
+
(x1+x2)(x1-x2)
2
=0.
∵點P(-1,
1
2
)
為弦AB的中點,∴-1=
x1+x2
2
,
1
2
=
y1+y2
2

y1-y2
x1-x2
=k,∴
k
4
+
-2
2
=0
,解得k=4.
∴直線l的方程為y-
1
2
=4(x+1)
,化為8x-2y+9=0.
點評:本題考查了直線與橢圓相交的“中點弦”問題、“點差法”等基礎(chǔ)知識與基本方法,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,點A、B分別為其左、右頂點,點F1、F2分別為其左、右焦點,以點A為圓心,AF1為半徑作圓A;以點B為圓心,OB為半徑作圓B;若直線l: y=-
3
3
x
被圓A和圓B截得的弦長之比為
15
6
;
(1)求橢圓C的離心率;
(2)己知a=7,問是否存在點P,使得過P點有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為
3
4
;若存在,請求出所有的P點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(>b>0),將圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準圓”.已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1.
(Ⅰ)過橢圓C的“準圓”與y軸正半軸的交點P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點,求l1,l2的方程;
(Ⅱ)若點A是橢圓C的“準圓”與X軸正半軸的交點,B,D是橢圓C上的兩相異點,且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•河北區(qū)一模)已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 
(a>b>0),過其左焦點F1(-1,0)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點.
(Ⅰ)若
OP
+
OQ
a
=(-3,1)共線,求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知直線l:x+y-
1
2
=0,在l上求一點M,使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長,求點M的坐標和此雙曲線E的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•衡陽模擬)已知橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0),離心率e=
2
2
,上焦點到直線y=
a2
c
的距離為
2
2
,直線l與y軸交于一點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A,B且
AP
=t
PB

(1)求橢圓C的方程;
(2)若
OA
+t
OB
=4
OP
,求m的取值范圍•

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是(  )

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同步練習(xí)冊答案