Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b2=

3m

2

，其中m≠0．
（1）當(dāng)m=1時，求b_n；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對于任意的正整數(shù)n，都有S_n∈[1，3]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知b₁=a₁=m； b₂=2a₁+a₂，可得a₂，從而可求數(shù)列{a_n}的公比q，進(jìn)而可求a_n，利用錯位相減求和可求b_n
（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求S_n由S_n∈[1，3]得

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)，兩種情況求解可求1-(-

1

2

)n最大值，最小值，代入可求m的范圍

解答：解（1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m； 又b₂=2a₁+a₂，
所以2a1+a2=

3

2

m，
解得a2=-

m

2

；      
 所以數(shù)列{a_n}的公比q=-

1

2

；
當(dāng)m=1時，an=(-

1

2

)n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，…①，
-

1

2

bn=na2+(n-1)a3+…+2an+an+1，…②，
②-①得-

3

2

bn=-n+a2+a3+…+an+an+1，
所以-

3

2

bn=-n+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=-n-

1

3

[1-(-

1

2

)n]，
bn=

2n

3

+

2

9

-

2

9

(-

1

2

)n=

6n+2+(-2)1-n

9

．
（2）Sn=

m[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2m

3

•[1-(-

1

2

)n]，
因?yàn)?span id="e4wcouk" class="MathJye">1-(-

1

2

)n＞0，所以由S_n∈[1，3]得

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
注意到，當(dāng)n為奇數(shù)時，1-(-

1

2

)n∈(1，

3

2

]；
當(dāng)n為偶數(shù)時，1-(-

1

2

)n∈[

3

4

，1)，
所以1-(-

1

2

)n最大值為

3

2

，最小值為

3

4

．
對于任意的正整數(shù)n都有

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
所以

4

3

≤

2m

3

≤2，解得2≤m≤3，
即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和的錯位相減法的應(yīng)用及恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用