Question

a₁₁，a₁₂，…a₁₈
a₂₁，a₂₂，…a₂₈
…
a₈₁，a₈₂，…a₈₈
64個(gè)正數(shù)排成8行8列，如上所示：在符合a_ij（1≤i≤8，1≤j≤8）中，i表示該數(shù)所在的行數(shù)，j表示該數(shù)所在的列數(shù)．已知每一行中的數(shù)依次都成等差數(shù)列，而每一列中的數(shù)依次都成等比數(shù)列（每列公比q都相等）且a11=

1

2

，a₂₄=1，a32=

1

4

．
（1）若a21=

1

4

，求a₁₂和a₁₃的值．
（2）記第n行各項(xiàng)之和為An（1≤n≤8），數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足an=

36

An

，聯(lián)mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m為非零常數(shù)），cn=

bn

an

，且c₁²+c₇²=100，求c₁+c₂+…c₇的取值范圍．
（3）對(duì)（2）中的a_n，記dn=

200

an

(n∈N)，設(shè)B_n=d₁•d₂…d_n（n∈N），求數(shù)列{B_n}中最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得q=

a21

a11

=

1

2

，a14=

a24

q

=2，由a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差可求
（2）設(shè)第一行公差為d，

a32=a12q2=( 1 2 +d)•q2= 1 4 a24=a14•q=( 1 2 +3d)•q=1

解出d，q，從而可求a_n1，A_n，進(jìn)而可求a_n
由mb_n+1=2（a_n+mb_n）可構(gòu)造可得

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

1

m

即cn+1-cn=

1

m

，利用等差數(shù)列的求和公式及基本不等式可求
（3）由dn=200•(

1

2

)n是一個(gè)正項(xiàng)遞減數(shù)列可得d_n≥1時(shí)B_n＞B_n-1，d_n＜1時(shí)B_n＜B_n-1，若{B_n}中最大項(xiàng)滿足

dn≥1 dn+1＜1

可求

解答：解：（1）∵q=

a21

a11

=

1

2

，∴a14=

a24

q

=2
∵a₁₁，a₁₂，a₁₃，a₁₄成等差∴a12=1，a13=

3

2

（2）設(shè)第一行公差為d，

a32=a12q2=( 1 2 +d)•q2= 1 4 a24=a14•q=( 1 2 +3d)•q=1

解出：d=

1

2

，q=

1

2

′
∵an1=a11•(

1

2

)n-1=(

1

2

)nan8=a18•(

1

2

)n-1=4•(

1

2

)n-1=8(

1

2

)n
∴An=

an1+an8

2

•8=36•(

1

2

)n∴a_n=2ⁿ（1≤n≤8，n∈N）
∵mb_n+1=2（a_n+mb_n）∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

1

m

而cn=

bn

an

∴cn+1-cn=

1

m

∴{c_n}是等差數(shù)列
故c1+c2+…+c7=

(c1+c7)•7

2

∵（c₁+c₇）²=c₁²+c₇²+2c₁•c₇≤2（c₁²+c₇²）=200
∴-10

2

≤c1+c7≤10

2

∴c1+c2+…+c7∈[-35

2

，35

2

]
（3）∵dn=200•(

1

2

)n是一個(gè)正項(xiàng)遞減數(shù)列
∴d_n≥1時(shí)B_n＞B_n-1，d_n＜1時(shí)B_n＜B_n-1
∴{B_n}中最大項(xiàng)滿足

dn≥1 dn+1＜1

⇒

200( 1 2 )n≥1 200( 1 2 )n+1＜1

解出：6.643＜n≤7.643
∵n∈N，∴n=7，即{B_n}中最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為7項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，構(gòu)造特殊的（等差）數(shù)列求解通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（小）項(xiàng)，是數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．