Question

函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在[-1，1]是單調(diào)增函數(shù)，又f（-1）=-1，則滿足f（x）≤t²+2at+1對所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]都成立的t的范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在[-1，1]是單調(diào)增函數(shù)，又f（-1）=-1，我們易求出當(dāng)x∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）值域，然后可以將不等式f（x）≤t²+2at+1轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，對t值進(jìn)行分類討論后，即可得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在[-1，1]是單調(diào)增函數(shù)，又f（-1）=-1，
∴f（1）=1，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）∈[-1，1]
若f（x）≤t²+2at+1對所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]都成立
則t²+2at+1≥1在a∈[-1，1]上恒成立
當(dāng)t=0時，不等式恒成立，滿足條件；
當(dāng)t＞0時，不等式可化為：t²-2t+1≥1，解得t≥2；
當(dāng)t＜0時，不等式可化為：t²+2t+1≥1，解得t≤-2；
綜上滿足條件的t的范圍是（-∞．-2]∪{0}∪[2，+∞）
故答案為：（-∞．-2]∪{0}∪[2，+∞）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性判斷出當(dāng)x∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）值域，是解答本題的關(guān)鍵．