Question

【題目】如圖，四邊形 是等腰梯形， ， ， ，在梯形 中， ，且 ， 平面 .

（1）求證： 平面 ；
（2）若二面角 的大小為 ，求 的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知 ，所以 ，

又因?yàn)? 平面 ， 平面 ，所以 ，

又因?yàn)? ，所以 平面 .

（2）解：因?yàn)? 平面 ，又由(1)知 ，以 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .

設(shè) ，則 ， ， ， ， ， .

設(shè)平面 的法向量為 ，則故

令 ，所以 .

又平面 的一個(gè)法向量 ，所以 ，解得 .

所以 的長(zhǎng)為 .

【解析】對(duì)于（1），要證明線(xiàn)面垂直，根據(jù)判定定理，在平面內(nèi)找到兩條相交直線(xiàn)與所證直線(xiàn)垂直即可.
對(duì)于（2）涉及到二面角時(shí)，如果二面角的平面角不明顯時(shí)，往往建立合適空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角來(lái)體現(xiàn)二面角，從而解決問(wèn)題.