如圖,在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AC⊥BC,AC=BC=CC
1,M、N分別是A
1B、B
1C
1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN⊥平面A
1BC;
(Ⅱ)求直線BC
1和平面A
1BC所成角的大小.
證明:(Ⅰ)由已知BC⊥AC,BC⊥CC
1,
所以BC⊥平面ACC
1A
1.連接AC
1,則BC⊥AC
1.
由已知,側(cè)面ACC
1A
1是矩形,所以A
1C⊥AC
1.
又BC∩A
1C=C,所以AC
1⊥平面A
1BC.
因?yàn)閭?cè)面ABB
1A
1是正方形,M是A
1B的中點(diǎn),連接AB
1,則點(diǎn)M是AB
1的中點(diǎn).
又點(diǎn)N是B
1C
1的中點(diǎn),則MN是△AB
1C
1的中位線,所以MN
∥AC
1.
故MN⊥平面A
1BC.
(Ⅱ)因?yàn)锳C
1⊥平面A
1BC,設(shè)AC
1與A
1C相交于點(diǎn)D,
連接BD,則∠C
1BD為直線BC
1和平面A
1BC所成角.
設(shè)AC=BC=CC
1=a,則C
1D=
a,BC
1=
a.
在Rt△BDC
1中,sin∠C
1BD=
=,
所以∠C
1BD=30°,故直線BC
1和平面A
1BC所成的角為30°.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
如圖(1)在正方形SG
1G
2G
3中,E、F分別是邊G
1G
2、G
2G
3的中點(diǎn),沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體如圖(2),使G
1,G
2,G
3三點(diǎn)重合于G,下面結(jié)論成立的是( )
A.SG⊥平面EFG | B.SD⊥平面EFG | C.GF⊥平面SEF | D.DG⊥平面SEF |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)C為圓O上異于A、B的一點(diǎn),PA⊥平面ABC,點(diǎn)A在PB、PC上的射影分別為點(diǎn)E、F.
(1)求證:PB⊥平面AFE;
(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱錐C-PAB的體積與此三棱錐的外接球(即點(diǎn)P、A、B、C都在此球面上)的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠ABC=60°,點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD,AC、BD交于點(diǎn)O.
(1)已知:PA=
,求證:AM⊥平面PBD;
(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于
,求PA的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐S?ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥面ABCD,且SA=AB,M、N分別為SB、SD中點(diǎn),求證:
(1)DB
∥平面AMN.
(2)SC⊥平面AMN.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,已知∠BAC在平面α內(nèi),P∉α,∠PAB=∠PAC,求證:點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)是AB的中點(diǎn).
(1)求證:BE
∥平面PDF;
(2)求證:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE與平面PAC所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,在三棱錐P-ABC中,E,F(xiàn)分別為AC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:EF
∥平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求證:平面PEF⊥平面PBC.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖所示的四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn),求證:
(1)PA
∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面PBD.
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