如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線BC1和平面A1BC所成角的大小.
證明:(Ⅰ)由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,
所以BC⊥平面ACC1A1.連接AC1,則BC⊥AC1
由已知,側(cè)面ACC1A1是矩形,所以A1C⊥AC1
又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.
因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形,M是A1B的中點(diǎn),連接AB1,則點(diǎn)M是AB1的中點(diǎn).
又點(diǎn)N是B1C1的中點(diǎn),則MN是△AB1C1的中位線,所以MNAC1
故MN⊥平面A1BC.
(Ⅱ)因?yàn)锳C1⊥平面A1BC,設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)D,
連接BD,則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角.
設(shè)AC=BC=CC1=a,則C1D=
2
2
a,BC1=
2
a.
在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=
C1D
BC1
=
1
2
,
所以∠C1BD=30°,故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖(1)在正方形SG1G2G3中,E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點(diǎn),沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體如圖(2),使G1,G2,G3三點(diǎn)重合于G,下面結(jié)論成立的是(  )
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)C為圓O上異于A、B的一點(diǎn),PA⊥平面ABC,點(diǎn)A在PB、PC上的射影分別為點(diǎn)E、F.
(1)求證:PB⊥平面AFE;
(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱錐C-PAB的體積與此三棱錐的外接球(即點(diǎn)P、A、B、C都在此球面上)的體積之比.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠ABC=60°,點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD,AC、BD交于點(diǎn)O.
(1)已知:PA=
2
,求證:AM⊥平面PBD;
(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于
21
7
,求PA的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐S?ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥面ABCD,且SA=AB,M、N分別為SB、SD中點(diǎn),求證:
(1)DB平面AMN.
(2)SC⊥平面AMN.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知∠BAC在平面α內(nèi),P∉α,∠PAB=∠PAC,求證:點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中點(diǎn),F(xiàn)是AB的中點(diǎn).
(1)求證:BE平面PDF;
(2)求證:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE與平面PAC所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐P-ABC中,E,F(xiàn)分別為AC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:EF平面PAB;
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求證:平面PEF⊥平面PBC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示的四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn),求證:
(1)PA平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面PBD.

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