Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=3f（x）+2，若a₁=1，a_n=f（n）．
（1）設(shè)C_n=a_n+1，證明：{C_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可證

cn+1

cn

=3，易求c₁=a₁+1=2，從而可證數(shù)列{C_n}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，c_n=2•3^n-1，于是a_n=2•3^n-1-1，利用分組求和法即可求得數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵f（x+1）=3f（x）+2，a_n=f（n），
∴

cn+1

cn

=

an+1+1

an+1

=

3an+3

an+1

=3，
又a₁=1，于是c₁=a₁+1=2，
∴數(shù)列{C_n}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，c_n=2•3^n-1，而C_n=a_n+1，
∴a_n=2•3^n-1-1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=2（1+3+3²+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n
=3ⁿ-n-1．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系的確定，考查分組求和，屬于中檔題．