Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+3，命題P：f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為f（2）；命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂．若命題P與命題Q中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，f（x）=（x-a）²+3-a²，對(duì)于命題 P：由f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為f（2）可求a的范圍；對(duì)于命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂，則可得f（-1）＜0，可求a的范圍，若P或Q中只有一個(gè)為真可知有兩種情況：①P真，Q假，②P假，Q真，分別可求a的范圍

解答：解：f（x）=（x-a）²+3-a²，對(duì)稱軸x₀=a，
對(duì)于命題 P：∵f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值為f（2），∴a≤2；
對(duì)于命題Q：方程f（x）=0的兩根x₁，x₂滿足x₁＜-1＜x₂，∴f（-1）＜0，∴a＜-2
∴當(dāng)P真，Q假時(shí)，

a≤2 a≥-2

∴-2≤a≤2
當(dāng)P假，Q真時(shí)，

a＞2 a＜-2

∴a∈Φ
綜上，a的取值范圍是[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題真假的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次方程的實(shí)根分布求解參數(shù)的取值范圍．