Question

在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩數(shù)m，n（m≠n），則橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

的概率是

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個實數(shù)，我們易求出該基本事件對應(yīng)的平面區(qū)域的大小，再求了滿足條件橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

對應(yīng)的平面區(qū)域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．

解答：解：區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個實數(shù)計為（m，n），
則點對應(yīng)的平面區(qū)域為下圖所示的正方形，
當(dāng)m＞n時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率e=

m2-n2

m

＞

3

2

，化簡得，m＞2n；
當(dāng)M＜n時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率e=

n2-m2

n

＞

3

2

，化簡得，n＞2m；
故其中滿足橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

時，有m＞2n或n＞2m．
它表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示：
其中正方形面積S=4，陰影部分面積S_陰影=2×

1

2

×2×1=2．
∴所求的概率P=

S陰影

S

=

1

2

故答案為：

1

2

．

點評：本題考查的知識點是幾何概型，其中計算出總的基本事件對應(yīng)的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關(guān)鍵．