在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)棱是底面邊長(zhǎng)的2倍，P是側(cè)棱CC1上的任一點(diǎn)．

（1）求證：不論P在側(cè)棱CC1上何位置，總有BD^AP；

（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P與平面ABCD所成二面角的余弦值；

（3）當(dāng)P點(diǎn)在側(cè)棱CC1上何處時(shí)，AP在平面B1AC上的射影是ÐB1AC的平

分線．

 

答案：
解析：

證明：由題意可知，不論P點(diǎn)在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD內(nèi)射影都是AC，∵ BD^AC，∴ BE^AP．

（2）解：延長(zhǎng)B1P和BC，設(shè)B1P∩BC=M，連結(jié)AM，則AM=平面AB1P∩平面ABCD．過B作BQ^AM于Q，連結(jié)B1Q，由于BQ是B1Q在底面ABCD內(nèi)的射影，所以B1Q^AM，故ÐB1QB就是所求二面角的平面角，依題意，知CM=2B1C1，從而BM=3BC．

所以AM+，在RtDABM中，

BQ=，在RtDB1BQ中，tanÐB1QB=，

∴ tanÐB1QB=．∴ 1+tan2ÐB1QB=得．

∴ cosÐB1QB=為所求．

（3）解：設(shè)CP=a，BC=m，則BB1=2m，C1P=2m-a，從而B1P2=m2+(2m-a)2，

=m2+4m2=5m2，AC=m．

在RtDACP中，cosÐAPC=．在DPAB1中，cosÐPAB1=

依題意，得ÐPAC=ÐPAB1．∴=．

∴ AP2+-B1P2=2AC×AB1．即a2+2m2+5m2-[m2+(2m-a)2]=m，

∴ ．故P距C點(diǎn)的距離是側(cè)棱的．

另解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)CP=a，CC1=6，∴ B1(0，3，6)，C(-3，3，0)，P(-3，3，a)．

∴ =(0，3，6)，=(-3，3，0)，=(-3，3，a)．

依題意，得，

即 3+2a=，亦即a=．

故P距C點(diǎn)的距離是側(cè)棱的．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)AA1=2，AB=1，E是AA1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為CC1的中點(diǎn)．
求證：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M、N分別為B1B和A1D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MN與平面ADD1A1所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角A-MN-A1的余弦值．

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（2012•長(zhǎng)寧區(qū)一模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是CC1的中點(diǎn)，直線AP與平面BCC1B1成30°角，求異面直線BC1和AP所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•昌平區(qū)二模）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為B1C1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1F∥平面ECC1；
（Ⅱ）在CD上是否存在一點(diǎn)G，使BG⊥平面ECC1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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