Question

（2008•成都三模）過拋物線y²=4x的焦點F且斜率為k（k＞0）的直線交拋物線于A、B兩點，若

AF

=4

FB

，則斜率k的值為（　�。�

• A．1
• B．2
• C．

  2

  3

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：先設(shè)點A，B的坐標(biāo)，求出直線方程后與拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根，再根據(jù)向量的有關(guān)知識得到坐標(biāo)的關(guān)系，進而代入拋物線的方程中得到答案

解答：解：∵拋物線 C：y²=4x焦點F（1，0），準(zhǔn)線x=-1，則直線AB的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2(2+k2)

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

•k=

4

k

①
∴

AF

=(1-x1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)
∵

AF

=4

FB

，
∴

1-x1=4(x2-1) y1=-4y2

即

x1=-4x2+5 y1=-4y2

②
①②聯(lián)立可得，x2=

3k2-4

3k2

，y2=-

4

3k2

•k=-

4

3k

，代入拋物線方程y²=4x可得

16

9k2

=

3k2-4

3k2

×4
∴9k²=16
∵k＞0
∴k=

4

3

故選D

點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，拋物線定義的應(yīng)用以及向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用