Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E為BD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）若BB1=

2

2

，求A₁F與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明：連接AD₁，在△ABD₁中
∵E是BD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA中點(diǎn)，
∴EF∥AD₁
又EF?平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyzz（DG為AB邊上的高）
則有A₁（

3

2

，-

1

2

，

2

2

），F(xiàn)（

3

2

，

1

2

，0），D₁（0，0，

2

2

），
B（

3

2

，

3

2

，0），
∴E（ 

3

4

，

3

4

，

2

4

 ），
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
由，

n• DE =0 n• DE =0

得

3 4 x+ 3 4 y+ 2 4 z=0 3 2 x+ 1 2 y=0

取x=1解得y=-

3

 ，  z=

6

∴法向量n=(1，-

3

，

6

)
∵

A1F

=（0，1，-

2

2

），
設(shè)A₁F與平面DEF所成的角為θ，則
sinθ=|cos?

A1F

，n＞|=

| A1F •n|

| A1F |•|n|

=

|0×1+1×(- 3 )+(- 2 2 )× 6 |

3 2 × 10

=

2 5

5

∴A₁F與平面DEF所成角的正弦值為

2 5

5

．