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已知
a
=(sin(
π
6
x-
π
3
)，2)，
b
=(2，sin(
π
6
x+
π
3
)+2)，f(x)=
a
•
b

（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若y表示某海岸港口的深度（米），x表示一天內時間（小時）；當水深不低于5米時，船才能駛入港口，求一天內船可以駛入或駛出港口的時間共有多少小時？
分析：（1）利用向量的數量積公式求出f（x），利用和、差角公式化簡f（x）．
（2）將實際問題轉化為三角不等式，列出不等式，結合三角函數的圖象解出不等式的解集．
解答：解：（1）f(x)=2sin(
π
6
x-
π
3
)+2sin(
π
6
x+
π
3
)+4
=2sin
π
6
xcos
π
3
-2cos
π
6
xsin
π
3
+2sin
π
6
xcos
π
3
+2cos
π
6
xsin
π
3
+4
=4sin
π
6
xcos
π
3
+4
=2sin
π
6
x+4，
∴f（x）=2sin
π
6
x+4．

（2）由題意，令sin
π
6
x+4≥5，∴sin
π
6
x≥
1
2
．
∴2kπ+
π
6
≤
π
6
x≤2kπ+
5
6
π，（k∈Z），
∴12kπ+1≤x≤12k+5，（k∈Z），
又∵0≤x≤24，∴k=0時，1≤x≤5；k=1時，13≤x≤17，
∴從晚上1點至5點，或上午13點至17點，為所求時間，共8小時，
點評：本題考查向量的數量積公式、和差角公式、結合三角函數的圖象及三角函數的單調性，周期性解三角不等式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

19、已知a=sin（-1），b=cos（-1），c=tan（-1），則a、b、c的大小關系是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，
c
=(0，3)，-
π
2
＜θ＜
π
2
．
（1）若(4
a
-
c
)∥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題：
（1）若函數f（x）=lg（x+
x2+a
），為奇函數，則a=1；
（2）函數f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知
a
=(sinθ，
1+cosθ
)，
b
=(1，
1-cosθ
)，其中θ∈（π，
3π
2
），則
a
⊥
b

（4）在△ABC中，
BA
=a，
AC
=b，若a•b＜0，則△ABC是鈍角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)，λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內心．
以上命題為真命題的是
（1）（2）（3）（5）
（1）（2）（3）（5）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sin(
π
4
+2α)，
6
6
)，
b
=(sin(
π
4
-2α)，-
6
6
)，α∈(
π
4
，
π
2
)，且
a
⊥
b
，求
2
sin2α+2cos2α的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sinθ，cosθ)、
b
=(
3
，1)
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若f(θ)=|
a
+
b
|，△ABC的三條邊分別為f（-
2π
3
）、f（-
π
6
）、f（
π
3
），求△ABC的面積．

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