Question

若x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)f（x）=x-lnx-a（a∈R）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x₁•x₂＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，構(gòu)造函數(shù)，要證明x₁•x₂＜1．即證明x₁＜

1

x2

，即可．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
由f′（x）＞0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得小值，同時(shí)也是最小值為f（1）=1-a，
若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則1-a＜0，解得a＞1，
∵x₁＜x₂，
∴x₁＜1＜x₂，
∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)f（x）=x-lnx-a（a∈R）的兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x₂）=x₂-lnx₂-a=0，
即a=x₂-lnx₂，
∴f（

1

x2

）=

1

x2

-ln

1

x2

-a=

1

x2

+lnx₂-x₂+lnx₂=

1

x2

-x₂+2lnx₂，
令h（t）=

1

t

-t+2lnt，t＞0，
則h′（t）=-

1

t2

-1+

2

t

=-(

1

t

-1)2＜0，
則h（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）＜h（1）=0，
∵x₂＞1，∴f（

1

x2

）=

1

x2

-x₂+2lnx₂＜0，
∴f（x₁）＞f（

1

x2

），
∵x₁＜1＜x₂，

1

x2

＜1，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴x₁＜

1

x2

，即x₁•x₂＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．