解:(1)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/80494.png)
得f(x)的定義域為(-∞,-3)∪(3,+∞),關(guān)于原點對稱.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105679.png)
∴f(x)為奇函數(shù) …(3分)
(2)∵f(x)的定義域為[α,β](β>α>0),則[α,β]?(3,+∞).
設x
1,x
2∈[α,β],則x
1<x
2,且x
1,x
2>3,
f(x
1)-f(x
2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105680.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105681.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105682.png)
∵(x
1-3)(x
2+3)-(x
1+3)(x
2-3)=6(x
1-x
2)<0,
∴(x
1-3)(x
2+3)<(x
1+3)(x
2-3)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105683.png)
,
∴當0<m<1時,log
m![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105684.png)
,即f(x
1)>f(x
2);
當m>1時,log
m![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105685.png)
,即f(x
1)<f(x
2),
故當0<m<1時,f(x)為減函數(shù);m>1時,f(x)為增函數(shù). …(7分)
(3)由(1)得,當0<m<1時,f(x)在[α,β]為遞減函數(shù),
∴若存在定義域[α,β](β>α>0),使值域為[log
mm(β-1),log
mm(α-1)],
則有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105686.png)
…(9分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105687.png)
∴α,β是方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105688.png)
的兩個解…(10分)
解得當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105689.png)
時,[α,β]=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105690.png)
,
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105691.png)
時,方程組無解,即[α,β]不存在. …(12分)
分析:(1)先求得f(x)的定義域為(-∞,-3)∪(3,+∞),關(guān)于原點對稱.再驗證
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105679.png)
,從而可得f(x)為奇函數(shù);
(2)f(x)的定義域為[α,β](β>α>0),則[α,β]?(3,+∞).設x
1,x
2∈[α,β],則x
1<x
2,且x
1,x
2>3,作差f(x
1)-f(x
2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105680.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105681.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105682.png)
,從而可知當0<m<1時,log
m![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105684.png)
,即f(x
1)>f(x
2);當m>1時,log
m![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105685.png)
,即f(x
1)<f(x
2),
故當0<m<1時,f(x)為減函數(shù);m>1時,f(x)為增函數(shù).
(3)由(1)得,當0<m<1時,f(x)在[α,β]為遞減函數(shù),故若存在定義域[α,β](β>α>0),使值域為[log
mm(β-1),log
mm(α-1)],則有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105686.png)
,從而問題可轉(zhuǎn)化為α,β是方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/105688.png)
的兩個解,進而問題得解.
點評:本題以對數(shù)函數(shù)為載體,考查對數(shù)函數(shù)的奇偶性,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的定義域與值域,同時考查分類討論的數(shù)學思想,綜合性強.