Question

已知函數(shù)對任意的恒有成立.
(1)當(dāng)b=0時(shí)，記若在）上為增函數(shù)，求c的取值范圍；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，成立；
(3)若對滿足條件的任意實(shí)數(shù)b，c，不等式恒成立，求M的最小值.

Answer 1

（1）；（2）證明見解析；（3）．

試題分析：（1）首先要討論題設(shè)的先決條件對恒成立，，即恒成立，這是二次不等式，由二次函數(shù)知識，有，化簡之后有，從而．時(shí)，在上是增函數(shù)，我們用增函數(shù)的定義，即設(shè)，恒成立，分析后得出的范圍；（2）
，問題變成證明在時(shí)恒成立，在的情況下，，而，可見，那當(dāng)時(shí)，一定恒有，問題證畢；（3）由（2），在時(shí)，，這時(shí)柺驗(yàn)證不等式成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，因此要求的最大值或者它的值域，
，而，因此，由此的取值范圍易得，的最小值也易得．
試題解析：（1）因?yàn)槿我獾?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824041307713181.png" style="vertical-align:middle;" />恒有成立，
所以對任意的，即恒成立.
所以，從而.，即：.
當(dāng)時(shí)，記（）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824041307869189.png" style="vertical-align:middle;" />在上為增函數(shù)，所以任取，，
恒成立.
即任取，，成立，也就是成立.
所以，即的取值范圍是.
（2）由（1）得，且，
所以，因此.
故當(dāng)時(shí)，有.
即當(dāng)時(shí)，.
（3）由（2）知，，
當(dāng)時(shí)，有
設(shè)，則，
所以，由于的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824041308275250.png" style="vertical-align:middle;" />，
因此當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；
當(dāng)時(shí)，由（1）知，.此時(shí)或0，，
從而恒成立.
綜上所述，的最小值為.