Question

分別求下列函數(shù)的值域：
（1）y=；
（2）y=-x²+2x（x∈[0，3]）；
（3）y=x+；
（4）y=．

Answer 1

解：（1）用分離變量法將原函數(shù)變形為：y==2+．
∵x≠3，∴≠0．
∴y≠2，即函數(shù)值域?yàn)閧y|y∈R且y≠2}．
（2）用配方法將原函數(shù)變形為：y=-（x-1）²+1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，
在區(qū)間[0，3]上，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值1，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最小值是-3，
則原函數(shù)的值域是[-3，1]．
（3）由1-x²≥0，得-1≤x≤1，設(shè)x=cosθ（θ∈[0，π]），
則y=sinθ+cosθ=sin（θ+），
由正弦函數(shù)曲線易知，當(dāng)θ=時(shí)，y取最大值為，當(dāng)θ=π時(shí)，y取最小值為-1，
∴原函數(shù)的值域是[-1，]．
（4）分離常數(shù)法將原函數(shù)變形為：
y=
∵1+2^x＞1，∴0＜＜2，
∴-1＜-1+＜1，
∴所求值域?yàn)椋?1，1）
分析：（1）用分離變量法將原函數(shù)變形，再根據(jù)分母不為零，求函數(shù)的值域；
（2）用配方法將原函數(shù)變形，再根據(jù)開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸的大小，求出在區(qū)間上的最值，在表示出值域；
（3）先求函數(shù)定義域[-1，1]，故設(shè)x=cosθ（θ∈[0，π]），代入原函數(shù)利用兩角的和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的曲線求出最值，即求出值域；
（4）用分離變量法將原函數(shù)變形，利用2^x＞0求原函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)值域的方法，即分離常數(shù)法，配方法和換元法等，注意每種方法適用的類(lèi)型．