Question

已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a²＋b²＋c²＋²≥6，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號成立．

Answer 1

見解析

法一：因?yàn)?i>a、b、c均為正數(shù)，由平均值不等式得
a²＋b²＋c²≥3(abc)，①
≥3(abc)－，②
所以²≥9(abc)－.
故a²＋b²＋c²＋²≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③
所以原不等式成立．
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號成立．
當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)＝9(abc)－時(shí)，③式等號成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時(shí)，原式等號成立．
法二：因?yàn)?i>a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得
a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ac，
所以a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ac.①
同理≥，②
故a²＋b²＋c²＋²≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c，(ab)²＝(bc)²＝(ac)²＝3時(shí)，③式等號成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時(shí)，原式等號成立．