Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）滿(mǎn)足，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）≤ （x+2）2成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)g（x）=f（x）﹣ x，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點(diǎn)都位于直線(xiàn)y= 的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由條件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，

又另取x=2時(shí)， 成立，

∴f（2）=2

（2）解：∵ ，∴ ，4a+c=1，

又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0在R上恒成立，

∴a＞0且△=（b﹣1）2﹣4ac≤0， ，

解得： ，

所以

（3）解：由題意可得：g（x）= + 在[0，+∞）時(shí)必須恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在[0，+∞）時(shí)恒成立，

則有以下兩種情況：

①△＜0，即16（1﹣m）2﹣8＜0，解得

② ，解得： ，

綜上所述：

【解析】（1）由已知f（2）≥2成立，又由f（x））≤ （x+2）2成立，得f（2）≤ =2，根據(jù)兩種情況可得f（2）值；f（﹣2）=0，由上述證明知f（2）=2，f（x）的表達(dá)式中有三個(gè)未知數(shù)，由兩函數(shù)值只能得出兩個(gè)方程，再對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關(guān)系得到 0，由此可以得到a= ，將此三方程聯(lián)立可解出三個(gè)參數(shù)的值，求出f（x）的表達(dá)式；（3）g（x）= + 在[0，+∞）時(shí)必須恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與x軸在x∈[0，+∞）無(wú)交點(diǎn)的問(wèn)題，由于g（x）的單調(diào)性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，此時(shí)需要判別式小于0，一類(lèi)是判別式大于0，對(duì)稱(chēng)軸小于0，且x=0處的函數(shù)值大于等于0，轉(zhuǎn)化出相應(yīng)的不等式求解．