Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x-

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(θ)=

5

6

，θ∈(

π

3

， 

2π

3

)，求sin2θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角與兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(θ)=

5

6

，求出cos(2θ+

π

3

)=-

2

3

，結(jié)合θ∈(

π

3

， 

2π

3

)，求出sin(2θ+

π

3

)=-

5

3

，
通過(guò)sin2θ=sin[(2θ+

π

3

)-

π

3

]利用兩角差的正弦函數(shù)求解即可．

解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）f(x)=cos2x-

3

sinxcosx+1
=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1=cos(2x+

π

3

)+

3

2

．         …（4分）
由2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，
得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）∵f(θ)=

5

6

，∴cos(2x+

π

3

)+

3

2

=

5

6

，cos(2θ+

π

3

)=-

2

3

．    …（8分）
∵θ∈(

π

3

，

2π

3

)，∴2θ+

π

3

∈(π，

5π

3

)，
sin(2θ+

π

3

)=-

1-cos2(2θ+ π 3 )

=-

5

3

． …（11分）
∴sin2θ=sin(2θ+

π

3

-

π

3

)=

1

2

sin(2θ+

π

3

)-

3

2

cos(2θ+

π

3

)=

2 3 - 5

6

．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．