Question

已知函數(shù)f（x）=

x+3 -2 x -1 (x≠1) a            (x=1)

在x=1處連續(xù)，則

lim

n→∞

ax2+1

a2x2+x

=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，說明當(dāng)x→1時，

x+3 -2

x -1

的極限等于a值，由此可得a=

1

2

，代入

ax2+1

a2x2+x

可得所求極限等于

lim

n→∞

1 2 x2+1

1 4 x2+x

=2，問題得到解決．

解答：解：∵函數(shù)f（x）在x=1處連續(xù)，
∴函數(shù)當(dāng)x→1時，函數(shù)的極限為a
利用求導(dǎo)數(shù)的方法，可以得到：
當(dāng)x→1時

x+3 -2

x -1

→

1

2

故a=

1

2

代入得：

lim

n→∞

ax2+1

a2x2+x

=

lim

n→∞

1 2 x2+1

1 4 x2+x

=

lim

n→∞

2x2+4

x2+4x

=

lim

n→∞

2 + 4 x2

1+ 4 x

=2
故答案為：2

點評：本題考查了函數(shù)的連續(xù)性和極限的相關(guān)和運算，屬于中檔題．抓住函數(shù)連續(xù)的定義，運用極限的思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則，是解決本題的關(guān)鍵．