Question

已知（

x

-

1

2 x

）ⁿ的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．
（1）求展開式中的常數(shù)項；    
（2）求展開式中所有整式項．

Answer 1

考點：二項式定理

專題：二項式定理

分析：（1）先求出二項式展開式的通項公式，再根據(jù)前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，求出n的值．再令通項公式中x的冪指數(shù)為0，求得k的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．
（2）要使T_k+1為整式項，需x的冪指數(shù)4-k為非負(fù)數(shù)，結(jié)合0≤k≤8，求得k的值，可得展開式中的整式項．

解答： 解：（1）由于二項式的展開式的通項公式為 T_r+1=C

r n

•（

x

）^n-r•（

1

2 x

）^r•（-1）^r，
∴前三項系數(shù)的絕對值分別為C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，
由題意知C

1 n

=C

0 n

+

1

4

C

2 n

，∴n=1+

1

8

n（n-1），n∈N^*，解得n=8或n=1（舍去），
∴T_k+1=C

k 8

•（

x

）^8-k•（-

1

2 x

）^k=C

k 8

•（-

1

2

）^k•x^4-k，0≤k≤8．
令4-k=0，求得k=4，∴展開式中的常數(shù)項為T₅=C

4 8

（-

1

2

）⁴=

35

8

．
（2）要使T_k+1為整式項，需4-k為非負(fù)數(shù)，且0≤k≤8，∴k=0，1，2，3，4．
∴展開式中的整式項為：x⁴，-4x³，7x²，-7x，

35

8

．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．