Question

（1）解不等式

2x2-4x-1

x2-2x-3

≥3；
（2）a，b∈R⁺，2c＞a+b，求證c-

c2-ab

＜a＜c+

c2-ab

．

Answer 1

分析：（1）原不等式等價于

(x-4)(x+2)

(x-3)(x+1)

≤0，由穿根法求得它的解集．
（2）用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，要證不等式成立，只要證|a-c|＜

c2-ab

，只要證
a+b＜2c，而由題設知，此式成立．

解答：解：（1）原不等式等價于

-x2+2x+8

x2-2x-3

≥0，即

(x-4)(x+2)

(x-3)(x+1)

≤0，
由穿根法（并驗根）求得 x∈[-2，-1）∪（3，4]．


（2）要證原式成立，即證-

c2-ab

＜a＜c＜

c2-ab

，即證|a-c|＜

c2-ab

，即證|a-c|2＜(

c2-ab

)2，
即證a²-2ac+c²＜c²-ab，即證a²+ab＞2ac，即證a+b＜2c，由題設，此式成立，
∴原命題成立．

點評：本題主要考查用穿根法解分式不等式和高次不等式，注意檢驗各根是否在解集內，以及用分析法證明不等式，
屬于中檔題．