Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+a

2x-a

，a∈R．
（1）若a=2，探究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；
（2）對(duì)a討論，a=0，a＞0，a＜0三種情況，先求定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可判斷奇偶性．

解答： 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=

2x+2

2x-2

=1+

4

2x-2

，
定義域?yàn)閧x|x≠1且x∈R}，
當(dāng)x＞1時(shí)，2^x＞2，且2^x-2遞增，

4

2x-2

遞減，則f（x）遞減；
當(dāng)x＜1時(shí)，2^x＜2，且2^x-2遞增，

4

2x-2

遞減，則f（x）遞減．
則有f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上遞減．
（2）f（x）=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

，
若a≤0，則函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f（-x）=1+

2a

2-x-a

，若f（-x）=f（x），則有a=0；
若f（-x）=-f（x），則有

2-x+a

2-x-a

=

2x+a

a-2x

，
解得，a=-1．
若a＞0時(shí)，若a≠1，則2^x≠a，解得，x≠log₂a，
則定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）不具奇偶性；
若a=1，則有定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）+f（x）=

2-x+1

2-x-1

+

2x+1

2x-1

=0，則為奇函數(shù)．
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a=±1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0，且a≠±1時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查分類討論的思想方法，考查定義法的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．