Question

如圖所示，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀． (1) 若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少? (2) 　　若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小? 　　(半個橢圓的面積公式為S＝lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結果均精確到0.1米)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如圖所示建立直角坐標系，則點P(11，4.5) 　　橢圓方程為+=1． 　　將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程， 　　得a=，此時l=2a=≈33.3． 　　因此隧道的拱寬約為33.3米．
(2)	方法一：由橢圓方程+=1，得+=1 　　因為+≥即ab≥99，且l=2a,h=b． 　　所以S=lh－≥ 　　當S取最小值時，有== 　　得a＝11．b＝ 　　此時l＝2a＝22≈31.1，h＝b≈6.4． 　　故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小． 　　方法二：由橢圓方程+＝1，得+＝1 　　于是b2＝· 　　a2b2＝(a2－121++242) 　　　 ≥＝(2+242)=81×121 　　即ab≥99，當S取最小值時，有a2－121＝．得a＝11，b＝，以下同方法一．