（2013•海淀區(qū)二模）已知點 D 為△ABC 的邊 BC 上一點．且 BD=2DC，∠ADB=75°，∠ACB=30°，AD=
2
．
（I）求CD的長；
（II）求△ABC的面積．
分析：（I）先求出∠DAC=45°，根據(jù)正弦定理有
AD
sin30°
=
CD
sin45°
，由此求得CD的值．
（II）又在△ABD中，∠ADB=75°，利用兩角和的正弦公式求得sin75°=sin（45°+30°）的值，可得S△ADB的值，再由S△ABC=
3
2
S△ADB 求得結(jié)果．
解答：解：（I）因為∠ADB=75°，∠ACB=30°，所以∠DAC=45°，在△ACD中，AD=
2
，
根據(jù)正弦定理有 
AD
sin30°
=
CD
sin45°
，…（4分）
所以CD=2．   …（6分）
（II）由 BD=2DC，可得BD=4． …（7分）
又在△ABD中，∠ADB=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=
6
+
2
4
，…（9分）
所以 S△ADB=
1
2
•AD•BD•sin75°=
3
+1，…（12分）
所以 S△ABC=
3
2
S△ADB=
3
3
+3
2
．  …（13分）
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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（2013•海淀區(qū)二模）雙曲線C的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且F2恰為拋物線y2=4x的焦點，設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個交點為A，若△AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（　�。�

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（2013•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=ex，A（a，0）為一定點，直線x=t（t≠0）分別與函數(shù)f（x）的圖象和x軸交于點M，N，記△AMN的面積為S（t）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時，若?t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范圍．

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（2013•海淀區(qū)二模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個頂點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(0，  -
1
2
)，求△AOB（O為原點）面積的最大值．

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（2013•海淀區(qū)二模）集合A={x|（x-1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，則A∪B=（　�。�

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（2013•海淀區(qū)二模）設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”．
（Ⅰ） 數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負實數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）； 
1 2 3 -7
-2 1 0 1
表1
（Ⅱ） 數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值；
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
表2
（Ⅲ）對由m×n個實數(shù)組成的m行n列的任意一個數(shù)表A，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)？請說明理由．

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