已知圓,橢圓
.
(Ⅰ)若點(diǎn)在圓
上,線段
的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),求點(diǎn)
的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)現(xiàn)有如下真命題:
“過圓上任意一點(diǎn)
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”;
“過圓上任意一點(diǎn)
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”.
據(jù)此,寫出一般結(jié)論,并加以證明.
(1)
(2)一般結(jié)論為: “過圓上任意一點(diǎn)
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直.”
【解析】
試題分析:解法一:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),則
, (1) 1分
設(shè)線段的垂直平分線與
相交于點(diǎn)
,則
, 2分
橢圓的右焦點(diǎn)
,
3分
,
,
,
, (2)
4分
由(1),(2),解得 ,
點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
.
5分
(Ⅱ)一般結(jié)論為:
“過圓上任意一點(diǎn)
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直.” 6分
證明如下:
(�。┊�(dāng)過點(diǎn)與橢圓
相切的一條切線的斜率
不存在時(shí),此時(shí)切線方程為,
點(diǎn)
在圓
上 ,
,
直線
恰好為過點(diǎn)
與橢圓
相切的另一條切線
兩切線互相垂直.
7分
(ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)與橢圓
相切的切線的斜率存在時(shí),
可設(shè)切線方程為,
由得
,
整理得,
8分
直線與橢圓相切,
,
整理得,
9分
,
10分
點(diǎn)
在圓
上,
,
,
,
兩切線互相垂直,
綜上所述,命題成立. 13分
解法二:
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),則
, (1) 1分
橢圓的右焦點(diǎn)
,
2分
點(diǎn)
在線段
的垂直平分線上,
,
,
, (2)
4分
由(1),(2),解得,
點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
.
5分
考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):主要是考查了橢圓的性質(zhì),以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,已知圓
是橢圓
的內(nèi)接△
的內(nèi)切圓, 其中
為橢圓的左頂點(diǎn).
(1)求圓的半徑
;
(2)過點(diǎn)作圓
的兩條切線交橢圓于
兩點(diǎn),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆福建省福建師大附中高三5月高考三輪模擬理科數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
已知圓,橢圓
.
(Ⅰ)若點(diǎn)在圓
上,線段
的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),求點(diǎn)
的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)現(xiàn)有如下真命題:
“過圓上任意一點(diǎn)
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”;
“過圓上任意一點(diǎn)
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”.
據(jù)此,寫出一般結(jié)論,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆黑龍江省高二上學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分) 已知圓過橢圓
的兩焦點(diǎn),與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn);直線
與圓
相切
,與橢圓
相交于
兩點(diǎn)記
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)求的面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆河北省高二第二次調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)和
為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),以
為圓心作圓,已知圓
經(jīng)過橢圓的中心,且與橢圓相交于
點(diǎn),若直線
恰與圓
相切,則該橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
本小題滿分16分)
如圖,已知圓是橢圓
的內(nèi)接△
的內(nèi)切圓, 其中
為橢圓的左頂點(diǎn).
(1)求圓的半徑
;
(2)過點(diǎn)作圓
的兩條切線交橢圓于
兩點(diǎn),
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