【題目】已知函數(shù)f(x)axx2,g(x)xlna,a>1.

(1)求證:函數(shù)F(x)f(x)g(x)(0,+∞)上單調(diào)遞增;

(2)若函數(shù)y3有四個零點,求b的取值范圍;

(3)若對于任意的x1,x2∈[1,1]時,都有|F(x2)F(x1)|≤e22恒成立,求a的取值范圍.

【答案】1)見解析(2(2,0)∪(2,+∞)3(1,e2]

【解析】

(1)∵F(x)f(x)g(x)axx2xlna,

F′(x)ax·lna2xlna(ax1)lna2x.

a>1,x>0,ax1>0,lna>0,2x>0,

當(dāng)x∈(0,+∞)時,F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)(1)知當(dāng)x∈(,0)時,F′(x)<0,

F(x)(,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

F(x)的最小值為F(0)1.30

F(x)b3F(x)b3,

要使函數(shù)y3有四個零點,只需

b>4,即>0,

解得b>22<b<0.

b的取值范圍是(20)∪(2,+∞)

(3)∵x1,x2∈[1,1],由(1)F(x)(,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

F(x)minF(0)1.

從而再來比較F(1)F(1)的大小即可.

F(1)1lnaF(1)a1lna,

F(1)F(1)a2lna.

H(x)x2lnx(x>0),

H′(x)1>0,

H(x)(0,+∞)上單調(diào)遞增.

a>1,H(a)>H(1)0.∴F(1)>F(1)

∴|F(x2)F(x1)|的最大值為|F(1)F(0)|alna

要使|F(x2)F(x1)|≤e22恒成立,只需alna≤e22即可.令h(a)alna(a>1),h′(a)1>0,h(a)(1,+∞)上單調(diào)遞增.h(e2)e22,只需h(a)≤h(e2),即1<a≤e2.a的取值范圍是(1,e2]

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點睛:線性規(guī)劃為?碱}型,解決此題務(wù)必要理解最優(yōu)解個數(shù)為無數(shù)個時的條件是什么,然后根據(jù)幾何關(guān)系求解即可

型】填空
結(jié)束】
16

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