Question

在數(shù)列a_n中a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（2n+1）（n∈N^*
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

nan

2n

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)條件得到n-1時(shí)式子的和為（n-1）（2n-1），相減得到a_n的通項(xiàng)公式，把n=1代入判斷也滿足；
（2）把a(bǔ)_n的通項(xiàng)公式代入到b_n=

nan

2n

中得到b_n的通項(xiàng)公式，表示出前n項(xiàng)的和T_n，兩邊都乘以

1

2

，相減得到T_n的通項(xiàng)即可．

解答：解：（1）n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-1）（2n-1）
∴na_n=4n-1，a_n=4-

1

n

．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3滿足上式，
∴a_n=4-

1

n

（n≥1，n∈N⁺）
（2）記b_n=

nan

2n

則b_n=

4n-1

2n

，
∴T_n=

3

2

+

7

22

+

11

23

+…+

4n-1

2n

，
而

1

2

T_n=

3

22

+

7

23

+

11

24

+…+

4n-5

2n

+

4n-1

2n+1

∴

1

2

T_n=

7

2

-

4n+7

2n+1

，T_n=7-

4n+7

2n

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)已知條件推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的前n項(xiàng)的和．