如圖,四邊形ABCD為矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于點(diǎn)F,且點(diǎn)F在CE上,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).
(1)求證:AE⊥BE;
(2)求三棱錐D-AEC的體積;
(3)試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面DAE.
分析:(1)先證明CB⊥平面AEB,因?yàn)镃B∥DA,從而AE⊥BC,又由BF⊥平面ACE,可證得AE⊥BF,最后由線面垂直的判定定理證明AE⊥平面BCE,從而AE⊥BE.
(2)先將求三棱錐D-AEC的體積問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-ADC的體積問題,再證明EM即為三棱錐E-ADC的高,最后計(jì)算三角形ADC的面積,利用椎體的體積公式計(jì)算即可
(3)取BE中點(diǎn)G,連接MG,則MG∥平面ADE,若MN∥平面DAE,則平面GMN∥平面ADE,從而NG∥AD∥BC,從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)N即為CE的中點(diǎn),而F即為CE的中點(diǎn),故當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí),MN∥平面ADE.
解答:證明:(1)由AD⊥平面ABE及AD∥BC
∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC
而BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,又BC∩BF=B,
∴AE⊥平面BCE,又BE?平面BCE,∴AE⊥BE.
解:(2)連接EM,∵M(jìn)為AB中點(diǎn),AE=EB=BC=2,∴EM⊥AB
又DA⊥平面ABE,EM?ABE平面,∴DA⊥EM,所以EM⊥平面ACD
由已知及(1)得EM=
1
2
AB=
2
,S△ADC=2
2

VD-AEC=VE-ADC=
1
3
×2
2
×
2
=
4
3

(3)取BE中點(diǎn)G,連接MG,GF,F(xiàn)M.
∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE,
又EB=BC,所以F為CE中點(diǎn),∴GF∥BC
又∵BC∥AD,∴GF∥AD
所以GF∥平面ADE   
同理MG∥平面ADE,所以平面GMF∥平面ADE
又MF?平面MGF,則MF∥平面ADE.  
∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合,即N為線段CE的中點(diǎn)時(shí),MN∥平面ADE.
點(diǎn)評(píng):本題考察了線面平行,面面平行的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用,線面垂直,線線垂直的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用,三棱錐體積的計(jì)算方法等知識(shí)
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長(zhǎng)為a的正方形,點(diǎn)E是A′A的中點(diǎn),A′A⊥平面ABCD.
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(2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
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12
PD.
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(2)求二面角P-DE-A的余弦值.

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如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°,那么∠BOD
128°
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如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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