Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=+log₂圖象上任意兩點(diǎn)，且=（+），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且有S_n=f（）+f（）+…+f（），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，且T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λ（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=（+）知M為線段AB的中點(diǎn)，由M的橫坐標(biāo)為得x₁+x₂=1，由此可求得y₁+y₂，從而可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)S_n=f（）+f（）+…+f（），分別令n=2，3，4即可求得s₂，s₃，s₄；由（1）知，由，得f（）+f（）=1，從而可求得2S_n；
（3）先表示出a_n，利用裂項(xiàng)相消法求得T_n，分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決，利用基本不等式可得最值；
解答：解：（1）依題意，由=（+）知M為線段AB的中點(diǎn)，
又因?yàn)镸的橫坐標(biāo)為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴=，即x₁+x₂=1，
∴=1+log₂1=1，
所以=，
即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值；
（2）=，
=+=1，
=++=，
由（1）知，由，得f（）+f（）=1，
又S_n=f（）+f（）+…+f（）=f（）+f（）+…+f（），
所以2S_n=（n-1）×1，即S_n=（n∈N^*且n≥2）；
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，=，
又n=1時(shí)，也適合，
所以，
∴=4（）
=4（）=（n∈N*），
由≤λ恒成立（n∈N*）推得λ≥，
而==（當(dāng)且僅當(dāng)n=2取等號），
∴，∴λ的最小正整數(shù)為1．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式、數(shù)列與向量的綜合，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，難度較大．